En mecánica cuántica, La unitariedad garantiza que la norma total del estado cuántico (su probabilidad total) se conserve.

El operador que describe la evolución temporal U(t, t_o) de un sistema mecánico cuántico es un operador unitario. Los operadores se suelen caracterizar por llevar el símbolo ^, en este caso sería Û(t, t_o); aunque en otras ocasiones se avise simplemente de su condición de operador.

Matemáticamente, la condición de ser operador unitario Û es: Û^†Û = I o bien Û^† = Û^-1 (Siendo Û^† el operador adjunto y Û^-1 el operador inverso e I el operador unidad)

La inversión temporal en mecánica cuántica se refiere a la operación t => -t (además de otras transformaciones adicionales: momento, spin, etc.)

En la mecánica cuántica ondulatoria de Schrödinger la evolución en el tiempo de los fenómenos cuánticos pueden describirse adecuadamente especificando una función de onda ψ(r,t) que verifique la ecuación de onda de Schrödinger. La ecuación de onda generaliza a las ecuaciones clásicas del movimiento, que para una partícula de masa m en un potencial V(r,t) es:

i ℏ d/dt Ψ(r , t) = [-ℏ²/(2m) ∇² + V(r , t)] Ψ(r , t)

La expresión dentro de los paréntesis del miembro de la derecha se corresponde con el operador Hamiltoniano H, función que tiene que ver con la energía total del sistema, siendo entonces:

i ℏ d/dt Ψ(r , t) = H Ψ(r , t).

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de las funciones de onda en la mecánica cuántica. Para el caso de una dimensión espacial, x, más el tiempo, t, asumiendo que el potencial V del hamiltoniano no dependa del tiempo, es decir que se puede escribir como V(x), los estados estacionarios Ψ(x , t) son una clase muy útil de soluciones a la ecuación de Schrödinger.

Establezcamos el ansatz (suposición funcional o forma propuesta razonable) sobre que los estados estacionarios se puedan factorizar (separar) en un producto de dos funciones, una dependiente del tiempo t, g(t), y la otra dependiente de la posición x, ψ(x):

Ψ(x , t) = g(t) ψ(x) ,

Entonces, se puede llegar a dos ecuaciones separadas: una para g(t) y la otra para ψ(x):

i ℏ ∂/∂t g(t) = E g(t)

H ψ(x) = E ψ(x)

Siendo E la energía total del sistema (constante en esta separación de funciones). Entonces, las anteriores ecuaciones admiten las soluciones:

g(t) = e^{−i E t / ℏ}

Y ψ(x) como una solución (autoestado) de la ecuación de autovalores E del operador hamiltoniano H:

H ψ(x) = E ψ(x); con valores reales de E.

Entonces para estados estacionarios tenemos:

Ψ(x , t) = g(t) ψ(x) = e^{−i E t / ℏ} ψ(x)

La función de onda depende del tiempo a través del factor de fase; aunque su densidad de probabilidad no (por ser un estado estacionario).

La primera parte del estado estacionario Ψ(x , t), ψ(x), ha de ser una función normalizada, independiente del tiempo. La segunda parte, g(t) = e^{−i E t/ℏ} , es la parte que contribuye a la dependencia temporal, que al ser una fase no afectaría a la normalización de Ψ(x , t) (siempre que ψ(x) lo esté). 

Se cree que un sistema puramente cuántico, como un grupo de átomos completamente aislado de su entorno, debería evolucionar en el tiempo de manera predecible según el modelo de Schrödinger, pero no predictiva en los resultados individuales de medidas (que son probabilísticos)

En mecánica cuántica, si conocemos el hamiltoniano, entonces se podrá rastrear lo que hace el sistema a lo largo del tiempo. Si esta evolución es completamente cuántica, la evolución unitaria reversible no implica que el sistema «vaya hacia atrás en el tiempo» en un sentido físico (macroscópico), simplemente significa que matemáticamente existe un operador inverso que permite reconstruir el estado anterior.

En los experimentos de laboratorio se observa que los sistemas cuánticos evolucionan del pasado al futuro, pero no al revés. La dinámica unitaria es reversible. La evolución aparente solo en un sentido se debe a decoherencia y efectos termodinámicos, no a la mecánica cuántica fundamental.

Una cuestión fundamental es si es posible, al menos en principio, concebir un conjunto más amplio de operaciones que investiguen los procesos cuánticos en sentido temporal hacia atrás, del futuro al pasado, o más generalmente, en una combinación de sentidos hacia adelante y hacia atrás. En la actualidad se está trabajando en marcos matemático para operaciones que no están limitadas a un sentido temporal definido o con un orden causal indefinido, proporcionando un marco para posibles extensiones de la teoría cuántica.

Desde un punto de vista matemático (álgebra de operadores), en el hecho de que en mecánica cuántica algunos operadores no conmuten, que es la base de la indeterminación cuántica, se encontraría una base más fundamental para una mejor comprensión de la flecha del tiempo. La no conmutatividad genera incertidumbre, pero no fundamenta directamente la flecha del tiempo. Esta está relacionada con entropía, decoherencia o condiciones iniciales. [Pedroso-Peñafiel, 2022]

Como se dijo con anterioridad, la unitariedad es una condición de la evolución temporal de los estados cuánticos que verifiquen la ecuación de Schrödinger, esta evolución temporal se representa matemáticamente por un operador unitario U(t, t₀), que representa la evolución de t_o a t, siendo:

U(t , t_o) = e^{−i H ( t –to) / ℏ}; siendo H independiente del tiempo en todo su dominio de definición.

Si t_o = 0 entonces se puede escribir U(t) = e^{−i H t / ℏ}

|g(t) > = U(t , t₀)  |g(t_o) >

La inversión temporal se implementa como un operador que, entre otra cosas, realiza el cambio de t por -t.

Es útil hacer referencia a la simetría CPT como una combinación de tres simetrías fundamentales: carga (C), paridad (P) e inversión temporal (T). La inversión temporal tiene cierta relación con CPT.

Un operador unitario es un operador, en un espacio de Hilbert, que conserva la norma (el producto interno por sí mismo) de los estados sobre los que se aplica. Matemáticamente, un operador es unitario si verifica: U(t, t₀)⁻¹ = U(t, t₀)^†. La daga † puesta como superíndice de un operador cualquiera, A^†, representa al operador adjunto de ese operador A (que de forma matricial es la matriz adjunta o la matriz traspuesta conjugada de A). Un operador autoadjunto coincidirá con su propio operador adjunto (es decir, A^† = A), lo que permite tener como autovalores números reales (es un observable físico). No todo operador hermítico es automáticamente un autoadjunto o un observable físico. Para eso debe ser autoadjunto y estar densamente definido. Hay casos donde un operador hermítico no es físicamente aceptable. El hecho de ser operador «hermítico» no implica automáticamente ser «autoadjunto» (en el sentido riguroso de la teoría de operadores). Solo los operadores autoadjuntos son observables físicos válidos

En un contexto de «espacios duales (dual de)» entre kets, |α>, y bras, <α|, se usaría como: <α|U^† dual de U|α> más formalmente <α|U^† = (U|α>)^†.

Como el hamiltoniano, H, representa la energía total del sistema, su representación espectral (discreta) se puede definir en usando sus autovalores (valores de energía), ε_k, y autoestados, |k>. Pudiéndose escribir: H = ∑_k ε_k |k><k|. Así mismo, el operador evolución temporal U se pude escribir en la misma base de autoestados (autovectores, |k>) de H pero con autovalores de la forma e^{−i ε_k t / ℏ}, siempre que H no dependa de t, siendo su desarrollo:

U(t) = ∑_k e^{−i ε_k t / ℏ} |k><k|.

De forma sencilla, en la representación de Schrödinger la mecánica cuántica se formula con vectores de estado que evolucionan en el tiempo (dependen del tiempo), aunque no los observables (operadores), A_S. En un sistema conservativo (que conserva su energía), los estados evolucionan en el tiempo según U(t, t₀).

Es interesante recordar que en los diagramas de Feynman de la Electrodinámica Cuántica (EDC o QED) las anti-partículas (con sus diversas cargas cambiadas de signo, aunque con la misma masa) siguen una representación con una flecha inversa (La inversión temporal, Feynman la interpreta formalmente como una transformación CPT, donde el positrón, antipartícula del electrón, puede representarse como un electrón viajando hacia atrás en el tiempo en ciertos marcos teóricos).

Hacia 1985 Feynman escribió: «Puedes concebir el proceso de aniquilación de un positrón y un electrón como un rebote del electrón hacia atrás en el tiempo» (aunque esta idea parezca absurda, sorprendentemente funciona como si fuera real).» [Feynman, 1985]

Feynman usa una analogía heurística en la que un positrón puede ser interpretado como un electrón viajando hacia atrás en el tiempo.

En el mundo macroscópico, el tiempo es intrínsecamente asimétrico, fluyendo en una dirección específica desde
pasado al futuro. Sin embargo, lo mismo no es necesariamente cierto para los sistemas cuánticos, ya que en algunos de estos sistemas los procesos producen evoluciones cuánticas válidas bajo inversión del tiempo. Suponiendo que en tales procesos se puede sondear el tiempo en ambas direcciones, también podríamos considerar procesos cuánticos en una superposición coherente de sentidos de tiempo, hacia adelante y hacia atrás. [Strömberg, 2024]

Matices entre operador adjunto, autoadjunto, observable y hermítico:

Todo observable ha de ser un operador autoadjunto.

Todo operador autoadjunto es hermítico, pero no todo hermítico es autoadjunto.  Para espacios de dimensión finita, el operador A† (A daga) es el adjunto de A, definido como el único operador que, en forma matricial, se obtiene transponiendo y conjugando su matriz. Un operador A es autoadjunto cuando su adjunto A† (A daga) coincide (es igual) con (a) A.