Sea una magnitud física (observable) de una partícula que, tras su medida, únicamente puede arrojar dos resultados |0> ó |1>. El conjunto de resultados forman una base {|0>, |1>} en un espacio de Hilbert H.
Sean dos partículas idénticas. Cada partícula puede estar en un estado superposición de los estados |0> y |1>, descritos por un espacio de Hilbert H1 para la partícula 1 (superposición de los estados base con coeficientes a0 y a1) y de H2 para la partícula 2 (superposición de los estados base con coeficientes a’0 y a’1). En resumen, la partícula 1 usará como referencia para sus estados el espacio de Hilbert H1 con base {|0>, |1>} y la partícula 2 usará como referencia para sus estados el espacio de Hilbert H2 con base {|0>, |1>}.
El sistema compuesto se describe mediante el producto tensorial de los dos espacios de Hilbert: H1 ⊗ H2; es decir:
La partícula 1 estará en el estado: a0 |0> + a1 |1>
La partícula 2 estará en el estado: a’0 |0> + a’1 |1>
Cualquier estado del sistema compuesto de las 2 partículas, se describirá como:
(a0 |0> + a1 |1>) ⊗ (a’0 |0> + a’1 |1>) =
= a0 a’0 |00> + a0 a’1 |01> + a1 a’0 |10> + a1 a’1 |11>
En la expresión se tiene un estado producto con dos componentes. La primera componente se refiere a la primera partícula y la segunda componente a la segunda partícula.
El sistema de 2 partículas está referido a la base ortonormal:
{|00>, |01>, |10>, |11>}
Para verificar que las dos partícula están en un estado de entrelazamiento se deberá demostrar que |ψ(t)> no se puede poner como estado producto de sus dos componentes: (a0 |0> + a1 |1>) ⊗ (a’0 |0> + a’1 |1>).
Es decir, las dos partículas, en el estado |ψ(t)>, estarán en estado de entrelazamiento si se verifica que no puede factorizarse, es decir, no puede escribirse con todos los factores posibles de su producto tensorial (para este caso de dos partículas serían 4 factores):
|ψ(t)> ≠ (a0 |0> + a1 |1>) ⊗ (a’0 |0> + a’1 |1>)
Con el siguiente ejemplo se desea comprobar si un sistema de dos partículas están en un estado de entrelazamiento.
Sea el estado |ψ(t)> definido como:
|ψ(t)> = 1/√2(|00> + |11>)
En esta expresión la primera componente se asocia a la primera partícula y la segunda componente a la segunda partícula.
Para ver si un sistema de dos partículas está en un estado de entrelazamiento, se deberá comprobar que las dos expresiones siguientes no pueden ser iguales:
1/√2(|00> + |11>)
(a0 |0> + a1 |1>) ⊗ (a’0 |0> + a’1 |1>)
Es decir, se comprobará si existen un conjunto de valores a0, a’0, a1 y a’1 que permitan escribir la siguiente expresión:
1/√2(|00> + |11>) = a0 a’0 |00> + a0 a’1 |01> + a1 a’0 |10> + a1 a’1 |11>
Caso de no existir ese conjunto de valores a0, a’0, a1 y a’1, se podrá decir que ambas partículas están en un estado de entrelazamiento.
Para ello, se igualan los coeficientes a ambos lados de la igualdad anterior para cada |00>, |01>, |10> y |11>.
Resultado de lo anterior se llega a las cuatro condiciones siguientes:
1/√2 = a0 a’0
0 = a0 a’1
0 = a1 a’0
1/√2 = a1 a’1
Se puede ver que de la condiciones segunda y tercera se deduce que a0 ó a’1 deberá ser cero (uno de ellos o los dos) y que a1 ó a’0 deberá ser cero (uno de ellos o los dos), lo que contradice las condiciones primera y cuarta.
Lo anterior nos lleva a decir que no existe un conjunto de valores a0, a’0, a1 y a’1 que cumplan simultáneamente las cuatro condiciones anteriores. Así pues, se puede afirmar que las dos partículas están en un estado de entrelazamiento.
Una aplicación de los estados entrelazados (que no pueden factorizarse) es la teleportación cuántica, criptografía cuántica y violaciones de las desigualdades de Bell.