Un estado puro de un sistema cuántico se puede describir mediante una función de onda ψ(t) o un vector ket: |ψ(t)> (en la notación bra-ket de Dirac).

Según la notación bra-ket de Paul Dirac: «<ψ(t)|» es un bra y «|ψ(t)>» es un ket .

El vector |ψ(t)> pertenecen a un espacio de Hilbert complejo H.

En el anterior espacio de Hilbert H se denota el producto interno de dos vectores |x> e |y>, de este espacio H, como: <x|y> = ∑_k x*_k y_k. Habiendo sido desarrollados los vectores |x> e |y> en una misma base de vectores ortonormales {|k>} de H, siendo los coeficientes complejos x_k e y_k las proyecciones de los vectores |x> e |y> sobre el k-ésimo elemento de la base, el subíndice k variará como: k = 0, 1, 2…; siendo x*_k el complejo conjugado de x_k.

La evolución en el tiempo de |ψ(t)> será según un operador de evolución temporal U(t) unitario a partir del estado inicial |ψ(0)>:

|ψ(t)> = U(t) |ψ(0)>

El operador U(t) conservará el producto interno (y la norma o ‘longitud’)).

La norma de ψ(t), ║ψ(t)║, será la unidad: ║ψ(t)║ = 1; siendo ║ψ(t)║² = <ψ(t)|ψ(t)> => ║ψ(t)║ = √ <ψ(t)|ψ(t)>.

La matriz de densidad (operador densidad) ρ(t) para un estado puro es una representación alternativa del estado de un sistema cuántico para el que hemos utilizado previamente la función de onda ψ(t) o su vector ket |ψ(t)>; aunque el usó de esta matriz supone ventajas prácticas.

La matriz de densidad ρ(t) se define como el producto externo (cuyo resultado es un operador) de la función de onda y su conjugado (usando la notación bra-ket de Dirac: en este caso sería el ket por el bra):

ρ(t) ≡ |ψ(t)> <ψ(t)|

Esta matriz densidad representa un estado puro de un sistema cuántico. El estado puro está descrito por la función de onda ψ(t) o vector |ψ(t)>; que a su vez es una superposición de los estados (vectores) de una base {|n>} con coeficientes complejos c_n(t).

Así pues, un estado puro |ψ(t)> se puede escribir como:

|ψ(t)> = ∑_n c_n(t) |n>

La base {|n>} se puede escribir como: {|0>, |1>, |2>, …}

Con el índice n se cubrirán todos los vectores de la base, es decir n = 0, 1, 2, …..

Entonces, estando en el estado puro |ψ(t)> = c₀(t) |0> + c₁(t) |1> + c₂(t) |3>, ….., como superposición de los vectores de la base {|n>}, al realizar una medida, la probabilidad de conseguir (reducir en o colapsar en) un determinado vector de la base |n> es de |c_n|² = c*_n c_n ; siendo c*_n el complejo conjugado de c_n .

Por ejemplo, para una base compuesta únicamente por dos vectores {0> , |1>}, la probabilidad de conseguir el resultado |1> al realizar una medida, estando en el estado puro |ψ(t)> = c₁ |1> + c₂ |2> será de |c₁|² = c*₁ c₁ .

Un elemento de matriz densidad ρ_f,c(t), fila f y columna c:

ρ_fc(t) = < f | ρ(t) | c > = c_f(t) c*_c(t)

Los vectores |f> y |c> pertenecen a la base {|n>}, ocupando las posiciones f y c de esta. Siendo c*_c (t) el complejo conjugado de c_c(t).

Un observable A (magnitud física), se puede representar por una matriz, siendo un elemento de la matriz A (fila f y columna c) A_fc :

A_fc = < f | A | c >

El valor medio del observable A en el estado |ψ(t)> se representa como <A>, siendo:

<A> = <ψ(t)|A|ψ(t)> = ∑_i,j c_i(t) c*_j(t) <j|A|i> = ∑_i,j ρ_ij (t) A_ji = ∑_n,m A_ji ρ_ij(t) =Tr [A ρ(t)]

Con los índice i y j se cubrirán todos los vectores de la base {|n>} anterior, es decir i = 0, 1, 2, ….. y j = 0, 1, 2, ….. Siendo Tr […] la traza de una matriz.

Un forma de describir una situación de mezcla estadística de estados puros (o estado mixto) en el que se pueda encontrar un sistema cuántico, es mediante una matriz densidad (operador densidad) para una mezcla estadística de estados puros |ψ_i(t)> con sus respectivas probabilidades p_i: {p_i, |ψ_i(t)>}.

La descripción mediante una mezcla estadística es la más adecuada cuando no se conoce toda la información sobre el sistema (no conocemos completamente el estado inicial).

Para definir la matriz densidad para una mezcla estadística para el caso de N estados puros |ψ_i(t)>, se partirá del conocimiento de la probabilidad p_i para cada estado puro de la mezcla.

Sabiendo que cada estado puro de la mezcla |ψ_i(t)> es:

|ψ_i(t)> = ∑_n cⁱ_n(t) |n>

La mezcla estadística de los N estados puros es:

El estado mezcla es: ∑_i p_i (∑_n cⁱ_n(t) |n>)

La suma ∑ _i es en el rango: i=1 a i=N y ∑ _n es para todos los vectores de la base {|n>}, es decir n=0, 1, 2,…….

Donde se ha asociado cada probabilidad p_i a cada estado puro estado |ψ_i(t)> en el que pueda estar el sistema cuántico. Siendo: 0 ≤ p_i ≤ 1 y ∑_i p_i = 1; para el rango: i=1 a i=N.

La matriz densidad para cada |ψ_i(t)> es:

ρ_ⁱ(t) ≡ |ψⁱ(t)> <ψⁱ(t)|

Siendo un elemento de la matriz densidad (fila f y columna c) ρⁱ_f,c(t):

ρⁱ_f,c(t) = <f|ρⁱ(t)|c> = cⁱ_f(t) c*ⁱ_c(t)

Los vectores |f> y |c> pertenecen a la base {|n>}, ocupando las posiciones f y c.

Siendo el elemento de matriz densidad para la mezcla (fila f y columna c) ρ_f,c(t):

ρ_f,c(t) = ∑_i p_i ρⁱ_f,c(t)

El sumatorio anterior ∑_i es para los N estados puros de los que consta la mezcla estadística, es decir desde i=1 hasta i=N.

Pudiendo decir que cada elemento de matriz densidad de la mezcla ρ_f,c(t) es el promedio ponderado con las probabilidades p_i, de los ρⁱ_f,c(t) para todos los estados puros definido por los N valores del índice i.

Siendo la matriz densidad para la mezcla:

ρ(t)_mezcla = ∑_i p_i ρⁱ(t) = ∑_i p_i |ψⁱ(t)> <ψⁱ(t)|

La matriz densidad para la mezcla es la que mejor define la situación en la que se está en una mezcla estadística de estados puros.

Un sencillo ejemplo: Consideremos el estado mezcla compuesto por el estado puro |0>, con una probabilidad de 1/2, y el estado puro |1>, con una probabilidad de 1/2, entonces las matrices densidad de estos estados en la base {|n>} = {|0>, |1>} son:

Otro ejemplo: Consideremos el estado mezcla compuesto por el estado puro |+>, con una probabilidad de 1/2, y el estado puro |->, con una probabilidad de 1/2. En la base {|n>} = {|0>, |1>}, los estados puros |+> y |-> son:

|+ > = 1/√2 (|0> + |1>)

|- > = 1/√2 (|0> – |1>)

Entonces los operadores densidad de estos estados y de la mezcla son:

ρ_|+> = |+><+| = 1/2 (|0><0| + |0><1| + |1><0| + |1><1|)

ρ_|-> = |-><-| = 1/2 (|0><0| – |0><1| – |1><0| + |1><1|)

ρ_mezcla = 1/2 (|0><0| + |1><1|)

Siendo lo anterior en forma matricial:

Se puede ver que las dos matrices de densidad ρ_mezcla que se ha obtenido en los dos ejemplos anteriores son idénticas, aunque el estado mezcla del que se partió fuese diferente. Por tanto, se ve que es posible que dos estados mezclas diferentes tengan la misma matriz de densidad.

Se pueden distinguir dos estados mezcla si y solo si la matriz de densidad ρ es diferente.

La matriz densidad evoluciona en el tiempo siguiendo:

i ℏ ∂/∂t ρ = [H , ρ]; donde [H , ρ] es el conmutador del hamiltoniano H y el operador densidad ρ.